Question

【題目】已知：，點A、B分別在射線OM、ON上(A、B均不與重合)，以AB為邊在∠MON的內部作等邊三角形ABC，連接OC.

（1）如圖1，當OA=OB時，求證：平分.

（2）如圖2，當OA≠OB時，過點C作CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D、E.求證：OD=OE.(注：四邊形的內角和為)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可得AC=BC，利用SSS可證明△ACO≌△BCO，可得∠AOC=∠BOC，即可得OC平分∠MON；

（2）由垂直的定義可得∠ODC=∠CEB=90°，根據四邊形內角和為360°可得∠DCE=60°，根據角的和差關系可得∠ACD=∠BCE，利用AAS可證明△ACD≌△BCE，可得CD=CE，利用HL可證明△OCD≌△OCE，即可證明OD=OE.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，

在△ACO和△BCO中，，

∴△ACO≌△BCO（SSS），

∴∠AOC=∠BOC，即OC平分∠MON.

（2）∵，

∴，

∵，且四邊形的內角和為，

∴，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=BC，∠ACB=60°，

∴∠DCE-∠ACE=∠ACB-∠ACE，即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（AAS），

在Rt△OCD和Rt△OCE中，，

∴△OCD≌△OCE（HL），

∴OD=OE.