Question

【題目】如果一個三角形能被一條線段割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形．

（1）如圖1，是等腰銳角三角形，，若的角平分線交于點，且是的一條特異線，則 度．

（2）如圖2，中，，線段的垂直平分線交于點，交于點，求證：是的一條特異線；

（3）如圖3，若是特異三角形，，為鈍角，不寫過程，直接寫出所有可能的的度數．

Answer 1

【答案】（1）72；（2）證明見解析；（3）∠B度數為：135°、112.5°或140°.

【解析】

（1）根據等腰三角形性質得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A，據此進一步利用三角形內角和定理列出方程求解即可；

（2）通過證明△ABE與△AEC為等腰三角形求解即可；

（3）根據題意分當BD為特異線、AD為特異線以及CD為特異線三種情況分類討論即可.

（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，

∵BD是△ABC的一條特異線，

∴△ABD與△BCD為等腰三角形，

∴AD=BD=BC，

∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，

∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，

設∠A=x，則∠C=∠ABC=∠BDC=2x，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，

即：x+2x+2x=180°，

∴x=36°，

∴∠BDC=72°，

故答案為：72；

（2）∵DE是線段AC的垂直平分線，

∴EA=EC，

∴△EAC為等腰三角形，

∴∠EAC=∠C，

∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，

∵∠B=2∠C，

∴∠AEB=∠B，

∴△EAB為等腰三角形，

∴AE是△ABC的一條特異線；

（3）

如圖3，當BD是特異線時，

如果AB=BD=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；

如果AD=AC，DB=DC，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；

如果AD=DB，DC=DB，則∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合題意，舍去；

如圖4，當AD是特異線時，AB=BD，AD=DC，

則：∠ABC=180°20°20°=140°；

當CD為特異線時，不符合題意；

綜上所述，∠B度數為：135°、112.5°或140°.