Question

【題目】試解答下列問題：

（1）在圖1我們稱之為“8字形”，請直接寫出∠A，∠B，∠C，∠D之間的數量關系： ；

（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數是 個；

（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試求∠P的度數；

（4）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試寫出∠B與∠P、∠D之間數量關系 ．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）6；（3）38°；（4）2∠P=∠D+∠B．

【解析】

試題分析：（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；

（3）先根據“8字形”中的角的規律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②，可得2∠P=∠D+∠B，進而求出∠P的度數；

（4）同（3），根據“8字形”中的角的規律及角平分線的定義，即可得出2∠P=∠D+∠B．

解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；

故答案為：∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；

②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；

③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；

④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；

⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；

⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6個；

故答案為：6；

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，

又∵∠D=40度，∠B=36度，

∴2∠P=40°+36°，

∴∠P=38°；

（4）關系：2∠P=∠D+∠B．

由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①

由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②

①+②得：

∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1，

∠D+2∠B=2∠P+∠B，

即2∠P=∠D+∠B．

故答案為：2∠P=∠D+∠B．