Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．

（1）、求證：△ABE≌△ADF；

（2）、若等邊△AEF的周長為6，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）根據四邊形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根據△AEF是等邊三角形，得出AE=AF，最后根據HL即可證出△ABE≌△ADF；

（2）根據等邊△AEF的周長是6，得出AE=EF=AF的長，再根據（1）的證明得出CE=CF，∠C=90°，從而得出△ECF是等腰直角三角形，再根據勾股定理得出EC的值，設BE=x，則AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，求出x的值，即可得出正方形ABCD的邊長．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，

∵△AEF是等邊三角形，

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵AB＝AD，AE＝AF

∴Rt△ABE≌Rt△ADF；

（2）∵等邊△AEF的周長是6，

∴AE=EF=AF=2，

又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴BE=DF，

∴CE=CF，∠C=90°，

即△ECF是等腰直角三角形，

由勾股定理得CE2+CF2=EF2，

∴EC=，

設BE=x，則AB=x+，

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，

解得x1=或x2=（舍去），

∴AB=+=，

∴正方形ABCD的邊長為．

考點: 1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質；