Question

【題目】如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD=BC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，連接CG、OF、FB．

（1）求證：CG是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，求證：OF∥BC．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：（1）連接OC．欲證CG是⊙O的切線(xiàn)，只需證明∠CGO=90°，即CG⊥OC；

（2）根據(jù)直角三角形ABC、直角三角形DCF的面積公式，以及直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半求得AC=2AF；然后根據(jù)三角形中位線(xiàn)的判定與定理證得該結(jié)論．

證明：（1）如圖，連接OC．

在△ABC中，∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；

又∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO（等邊對(duì)等角）；

在Rt△DCF中，∵點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，∴CG=GF（直角三角形斜邊上的中線(xiàn)是斜邊的一半），

∴∠GCF=∠CFG（等邊對(duì)等角）；

∵DE⊥AB（已知），∠CFG=∠AFE（對(duì)頂角相等）；

∴在Rt△AEF中，∠A+∠AFE=90°；

∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠GCO=90°，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切線(xiàn)；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），即AC⊥BD；

又∵CD=BC，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，

∴S△AFB=S△ABC﹣S△BCF=（ACBC﹣CFBC），S△DCG=S△FCD=×DCCF=BCCF；

∵△AFB的面積是△DCG的面積的2倍，

∴（ACBC﹣CFBC）=2×BCCF，

∴AC=2CF，即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)；

∵O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，

∴OF是△ABC的中位線(xiàn)，

∴OF∥BC．