Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，過點A作BD的平行線AE交CB的延長線于點E．

（1）求證：BE＝BC；

（2）過點C作CF⊥BD于點F，并延長CF交AE于點G，連接OG．若BF＝3，CF＝6，求四邊形BOGE的周長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）3+21．

【解析】

（1）利用平行線等分線段定理證明即可．

（2）根據勾股定理得BC＝，易證△CBF∽△DBC，得BD＝15，根據矩形的性質和直角三角形的性質得OG＝，利用平行線等分線段定理得BE＝3，由中位線的性質得EG＝6，進而即可求解．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴OC＝OA，

∵OB∥AE，

∴BC＝BE；

（2）∵CF⊥BD，

∴∠CFB＝90°，

在Rt△BCF中，BC＝，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD＝90°＝∠BFC，AC＝BD，

∵∠CBF＝∠DBC，

∴△CBF∽△DBC，

∴，

∴BD＝＝15，OB＝OD＝，

∴AC＝BD＝15，

∵CF⊥BD，BD∥AE，

∴CG⊥AE，

∴∠AGC＝90°，

∵OC＝OA，

∴OG＝AC＝，

∵OC＝OA，OF∥AG，

∴CF＝FG，

∴BC＝BE＝3，

∴EG＝2BF＝6，

∴四邊形BOGE的周長＝3+6++＝3+21．