Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長AC到E，使CE＝CO，連接EB，ED．

（1）求證：EB＝ED；

（2）過點A作AF⊥AD，交BC于點G，交BE于點F，若∠AEB＝45°，

①試判斷△ABF的形狀，并加以證明；

②設CE＝m，求EF的長（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①△ABF是等腰三角形（AB＝AF），理由見解析；②EF＝m

【解析】

（1）只要證明AE垂直平分線段BD即可；

（2）①利用等腰直角三角形的判定和性質，以及同角的余角相等，想辦法證明∠ABF=∠AFB即可；

②作EH⊥AF交AF的延長線于H．根據解直角三角形，想辦法求出FH、EH的長度，即可解決問題；

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴EA⊥BD，OB＝OD，

∴EB＝ED

（2）解：①結論：△ABF是等腰三角形（AB＝AF）；

理由：∵∠AEB＝45°，EO⊥OB，

∴△BOE是等腰直角三角形，

∴∠OBE＝∠OEB＝45°，

∵AG⊥BC，

∴∠AGB＝∠BOC＝90°，

∴∠GAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠OBC＝90°，

∴∠CAG＝∠CBO＝∠ABO，

∵∠ABF＝∠ABO+∠OBE＝∠ABO+45°，∠AFB＝∠CAG+∠AEB＝∠CAG+45°，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴AB＝AF，

∴△ABF是等腰三角形．

②作EH⊥AF交AF的延長線于H．

由題意CE＝OC＝OA＝m，OB＝AC═OD＝2m，AE＝3m，AB＝AF＝m，

tan∠CBO＝tan∠CAG＝＝，

∴EH＝m，AH＝m，

∴FH＝AH﹣AF＝m，

在Rt△EFH中，EF＝m．