Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是ts．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）用t的代數式表示：AE=　 　；DF=　 　；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；

（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2t，2t；（2）當t=10時，AEFD是菱形；（3）當t=s或12s時，△DEF是直角三角形．

【解析】試題分析：

（1）由已知易得∠C=30°，∠DFC=90°，這樣結合已知條件即可得到：DF=CD=2t，AE=2t；

（2）由（1）可知，AE=DF，結合AE∥DF可得四邊形AEFD是平行四邊形，由此可得當AD=AE，即60-4t=2t時，四邊形AEFD是菱形，解此關于t的方程即可求得對應的t的值；

（3）如圖1和圖2，根據題意分∠EDF=90°和∠DEF=90°兩種情況結合已知條件分析、計算即可得到對應的t的值.

試題解析：

（1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°．

∵CD=4t，AE=2t，

又∵在直角△CDF中，∠C=30°，

∴DF=CD=2t，

故答案為：2t，2t；

（2）∵DF⊥BC

∴∠CFD=90°

∵∠B=90°

∴∠B=∠CFD

∴DF∥AB，

由（1）得：DF=AE=2t，

∴四邊形AEFD是平行四邊形，

當AD=AE時，四邊形AEFD是菱形，

即60﹣4t=2t，

解得：t=10，

即當t=10時，AEFD是菱形；

（3）分兩種情況：

①當∠EDF=90°時，如圖1，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE

∵CD=4t，

∴DF=2t=AE，

∴AD=4t，

∴4t=60﹣4t，

∴t=

②當∠DEF=90°時，如圖2，DE⊥EF，

∵四邊形AEFD是平行四邊形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，

∵∠A=60°，

∴∠DEA=30°，

∴AD=AE，

∴60﹣4t=t，

解得t=12．

綜上所述，當t=s或12s時，△DEF是直角三角形．