Question

【題目】如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不動，△ADE繞點A旋轉，連接BE、CD，F為BE的中點，連接AF．

（1）如圖①，當∠BAE=90°時，求證：CD=2AF；
（2）當∠BAE≠90°時，（1）的結論是否成立？請結合圖②說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖①，

∵∠BAC+∠EAD=180°，∠BAE=90°，

∴∠DAC=90°，

在△ABE與△ACD中

∴△ABE≌△ACD（SAS），

∴CD=BE，

∵在Rt△ABE中，F為BE的中點，

∴BE=2AF，

∴CD=2AF．

（2）

成立，

證明：如圖②，

延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∴∠EAB+∠DAC=180°，

∵∠EAB+∠BAH=180°，

∴∠DAC=∠BAH，

在△ABH與△ACD中，

∴△ABH≌△ACD（SAS）

∴BH=DC，

∵AD=AE，AH=AD，

∴AE=AH，

∵EF=FB，

∴BH=2AF，

∴CD=2AF

【解析】（1）因為AF是直角三角形ABE的中線，所以BE=2AF，然后通過△ABE≌△ACD即可求得．（2）延長EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，證出△ABH≌△ACD從而證得BH=CD，然后根據三角形的中位線等于底邊的一半，求得BH=2AF，即可求得．