Question

【題目】 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P為邊BC上一個動點（可以包括點C但不包括點B），以P為圓心PB為半徑作⊙P交AB于點D過點D作⊙P的切線交邊AC于點E，

（1）求證：AE=DE；

（2）若PB=2，求AE的長；

（3）在P點的運動過程中，請直接寫出線段AE長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）AE=；（3）≤AE＜．

【解析】

（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，進而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A進而得出答案；

（2）利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2，求出AE即可；

（3）分別根據當D（P)點在B點時以及當P與C重合時，求出AE的長，進而得出AE的取值范圍．

（1）證明：如圖1，連接PD．

∵DE切⊙O于D．

∴PD⊥DE．

∴∠ADE+∠PDB=90°．

∵∠C=90°．

∴∠B+∠A=90°．

∵PD=PB．

∴∠PDB=∠B．

∴∠A=∠ADE．

∴AE=DE；

（2）解：如圖1，連接PE，設DE=AE=x，則EC=8-x，

∵PB=PD=2，BC=6．

∴PC=4．

∵∠PDE=∠C=90°，

∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2．

∴x2+22=（8-x）2+42．

解得x=．

∴AE=；

（3）解：如圖2，當P點在B點時，此時點D也在B點，

∵AE=ED，設AE=ED=x，則EC=8-x，

∴EC2+BC2=BE2，

∴（8-x）2+62=x2，

解得：x=，

如圖3，當P與C重合時，

∵AE=ED，設AE=ED=x，則EC=8-x，

∴EC2=DC2+DE2，

∴（8-x）2=62+x2，

解得：x=，

∵P為邊BC上一個動點（可以包括點C但不包括點B），

∴線段AE長度的取值范圍為：≤AE＜．