Question

【題目】（問題背景）

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明∠A+∠B＝∠C+∠D

（簡單應用）

（2）如圖2，AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝20°，∠ADC＝26°，求∠P的度數（可直接使用問題（1）中的結論）

（問題探究）

（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，試求∠P的度數

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）23°；（3）26°

【解析】

（1）根據三角形內角和定理即可證明；
（2）如圖2，根據角平分線的性質得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程組即可得到結論；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題

（1）證明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，

在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）解：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD，∠BCD，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

由（1）的結論得： ，

①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D，

∴∠P＝（∠B+∠D）＝23°；

（3）解：如圖3，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，

∵∠P+（180°﹣∠2）＝∠D+（180°﹣∠3），

∵∠P+∠1＝∠B+∠4，

∴2∠P＝∠B+∠D，

∴∠P＝（∠B+∠D）＝ ×（36°+16°）＝26°．

故答案為：（1）見解析；（2）23°；（3）26°．