Question

【題目】以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側作等邊三角形ABF和ADE，連接EB、FD，交點為G．

（1）當四邊形ABCD為正方形時（如圖1），EB和FD的數量關系是　 　；

（2）當四邊形ABCD為矩形時（如圖2），EB和FD具有怎樣的數量關系？請加以證明；

（3）四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，∠EGD是否發生變化？如果改變，請說明理由；如果不變，請在圖3中求出∠EGD的度數．

Answer 1

【答案】（1）EB=FD；（2）EB=FD，證明見解析；（3）不變，∠EGD＝60°

【解析】試題分析：（1）EB=FD，利用正方形的性質、等邊三角形的性質和全等三角形的證明方法可證明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性質即可得到EB=FD；
（2）當四邊形ABCD為矩形時，EB和FD仍舊相等，證明的思路同（1）；
（3）四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，∠EGD不發生變化，是一定值，為60°．

試題解析：

（1）EB=FD，

理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，

∵以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側作等邊三角形ABF和ADE，

∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，

∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，

∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，

∴∠FAD=∠BAE，

在△AFD和△ABE中，

，

∴△AFD≌△ABE，

∴EB=FD；

（2）EB=FD．

證：∵△AFB為等邊三角形

∴AF=AB，∠FAB=60°

∵△ADE為等邊三角形，

∴AD=AE，∠EAD=60°

∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，

即∠FAD=∠BAE

∴△FAD≌△BAE

∴EB=FD；

（3）解：

同（2）易證：△FAD≌△BAE，

∴∠AEB=∠ADF，

設∠AEB為x°，則∠ADF也為x°

于是有∠BED為（60﹣x）°，∠EDF為（60+x）°，

∴∠EGD=180°﹣∠BED﹣∠EDF

=180°﹣（60﹣x）°﹣（60+x）°

=60°．