Question

【題目】設p、q都是實數，且p＜q．我們規定：滿足不等式p≤x≤q的實數x的所有取值的全體叫做閉區間，表示為[p，q]．對于一個函數，如果它的自變量x與函數值y滿足：當p≤x≤q時，有p≤y≤q，我們就稱此函數是閉區間[p，q]上的“閉函數”．

（1）反比例函數y=是閉區間[1，2015]上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由．

（2）若一次函數y=kx+b（k≠0）是閉區間[m，n]上的“閉函數”，求此一次函數的解析式；

（3）若實數c，d滿足c＜d，且d＞2，當二次函數y=x2﹣2x是閉區間[c，d]上的“閉函數”時，求c，d的值．

Answer 1

【答案】（1）是閉區間上[1，2014]的“閉函數”，理由見解析（2）y=x或y=﹣x+m+n（3）c=﹣2，d=6為所求的實數

【解析】

試題分析：（1）根據反比例函數y=的單調區間進行判斷；

（2）根據新定義運算法則列出關于系數k、b的方程組，通過解該方程組即可求得系數k、b的值；

（3）y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，所以該二次函數的圖象開口方向向上，最小值是﹣2，且當x＜2時，y隨x的增大而減小；當x＞2時，y隨x的增大而增大．由于c＜d，且d＞2，所以分兩種情況進行討論：①c＜2＜d；②c≥2．

解：（1）是由函數y=的圖象可知，

當1≤x≤2015時，函數值y隨著自變量x的增大而減小．

而當x=1時，y=2015；

x=2015，y=1，

故也有1≤y≤2015，

所以，函數y=是閉區間上[1，2014]的“閉函數”

（2）因為一次函數y=kx+b（k≠0）是閉區間[m，n]上的“閉函數”，

所以根據一次函數的圖象與性質，

必有：①當k＞0時，（m≠n）

解得k=1，b=0，

∴一次函數的解析式為y=x．

②當k＜0時，（m≠n），

解得k=﹣1，b=m+n

∴一次函數的解析式為y=﹣x+m+n故一次函數的解析式為y=x或y=﹣x+m+n

（3）由于函數y=x2﹣2x的圖象開口向上，且對稱軸為x=2，頂點為（2，﹣2）

由題意根據圖象，分以下兩種情況討論：

①當2≤c＜d時，必有x=c，時，y=c且x=d時，y=d即方程y=x2﹣2x=x必有兩個不等的實數根，解得x1=0，x2=6，而0，6分布在2的兩邊，這與2≤c＜d矛盾，舍去；

②當c＜2＜d時，必有函數值y的最小值為﹣2，由于此二次函數是閉區間[c，d]上的“閉函數”，故必有c=﹣2，從而有[c，d]=[﹣2，d]．

而當x=﹣2時，y=6即得點（﹣2，6），又點（﹣2，6）關于對稱軸x=2的對稱點為（6，6），由“閉函數”的定義可知必有x=d時，y=d，即d2﹣2d=d，解得d1=0，d2=6，故可得c=﹣2，d=6符合題意，

綜上所述，c=﹣2，d=6為所求的實數．