Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒

（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀，說(shuō)明理由.

（2）當(dāng)t= 時(shí)，△BCP是以BC為腰的等腰三角形.

（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)之間的距離為？

Answer 1

【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見(jiàn)解析；

（2）t=1.5或2.7或3；

（3）t=1或t=

【解析】試題分析：（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；

（2）由于動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開(kāi)始，按C→A→B的路徑運(yùn)動(dòng)，故應(yīng)分點(diǎn)P在AC上與AB上兩種情況進(jìn)行討論；

（3）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)之間的距離為時(shí)，分三種情況討論：點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC上；點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)；點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，分別求得t的值并檢驗(yàn)即可．

試題解析：（1）∵AB=5，BC=3，AC=4

∴AC2+BC2= AB2

∴△ABC是直角三角形

（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)，CP=CB=3，則t=3÷2=1.5秒；

如圖，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，分兩種情況：

若BP=BC=3，則AP=2，

故t=(4+2)÷2=3秒；

若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，則

×AB×MC=×BC×AC，

×5×MC=×3×4，

解得CM=2.4，

∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，

∴AP=1.4，

故t=(4+1.4)÷2=2.7秒.

綜上所述，當(dāng)t=1.5、3或2.7時(shí)，△BCP是以BC為腰的等腰三角形。

故答案為：t=1.5或2.7或3；

（3）①如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AC上,點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(0t2)，

由勾股定理可得：(2t) +t=5，

解得t=1；

②如圖,當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)時(shí)(3t<4)，

由題可得：12－3t=，

解得t=；

③當(dāng)點(diǎn)P、Q均在AB上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)(4<t4.5)，

由題可得：2t+t12=，

解得t=，

∵t=>4.5，

∴不成立，舍去．

綜上所述,當(dāng)t為1秒或秒時(shí),P、Q兩點(diǎn)之間的距離為.