Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知于點D，AE平分

（1）試探究與的關系；

（2）若F是AE上一動點，當F移動到AE之間的位置時，,如圖2所示，此時的關系如何？

（3）若F是AE上一動點，當F繼續移動到AE的延長線上時，如圖3，，①中的結論是否還成立？如果成立請說明理由，如果不成立，寫出新的結論.

Answer 1

【答案】（1）∠EAD=（∠C-∠B），理由見解析；
（2）∠EFD=（∠C-∠B），理由見解析；

（3）∠AFD=（∠C-∠B）成立，理由見解析.

【解析】

（1）由圖不難發現∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根據三角形的內角和定理結合角平分線的定義分別用結論中出現的角替換∠EAC和∠DAC；
（2）作于G轉化為（1）中的情況，利用（1）的結論即可解決；

（3）作于H轉化為（1）中的情況，利用（1）的結論即可解決．

解：（1）∠EAD=（∠C-∠B）.理由如下：

∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC
∵∠BAC=180°-（∠B+∠C）
∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）]
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C，
∵∠EAD=∠EAC-∠DAC
∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=（∠C-∠B）．
（2）∠EFD=（∠C-∠B）.理由如下：

作于G

由（1）可知∠EAG=（∠C-∠B）

∵，
∴FD∥AG
∴∠EAG=∠EFD

∴∠EFD=（∠C-∠B）
（3）∠AFD=（∠C-∠B）．理由如下：

作于H

由（1）可知∠EAH=（∠C-∠B）

∵，
∴FD∥AH
∴∠EAH=∠AFD

∴∠AFD=（∠C-∠B）