Question

【題目】如圖1，兩個等腰直角三角板和有一條邊在同一條直線上， ， ．將射線繞點逆時針旋轉，交直線于點．將圖1中的三角板沿直線向右平移，設、兩點間的距離為．

解答問題：

（1）①當點與點重合時，如圖2所示，可得的值為 ；

②在平移過程中， 的值為 （用含的代數式表示）；

（2）將圖2中的三角板繞點逆時針旋轉，原題中的其他條件保持不變.當點落在線段上時，如圖3所示,計算的值；

（3）將圖1中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉度， ≤，原題中的其他條件保持不變.如圖4所示，請補全圖形,計算的值（用含k的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①1， ② ；（2）1；（3）.

【解析】試題分析：（1）①根據題意可得EM垂直平分DF，直線AF∥EM，從而轉化為，繼而得出結論；②仿照①的思路進行求解即可；

（2）先補全圖形，連接AE，分別求出AM及DM的值，然后可確定比值．

（3）先畫出圖形，然后證明△ABG≌△CBE，繼而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性質即可得出答案．

試題解析：解：（1）①如圖，∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，∴ ==1；

②如圖：

由①可得=；

（2）連接AE．∵△ABC，△DEF均為等腰直角三角形，DE=2，AB=1，∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°，∴DF=，AC=，∠EFB=90°，∴DF=2AC，AD=，∴點A為CD的中點，∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=．∵∠BEM=45°，∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，∴∠1=∠3，∴△AEM∽△FEB，∴ ，∴AM=，∴DM=AD﹣AM=，∴=1．

（3）過B作BE的垂線交直線EM于點G，連接AG、BG，∴∠EBG=90°．∵∠BEM=45°，∴∠EGB=∠BEM=45°，∴BE=BG．∵△ABC為等腰直角三角形，∴BA=BC，∠ABC=90°，∴∠1=∠2，∴△ABG≌△CBE，∴AG=EC=k，∠3=∠4．∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，∴∠6=∠5，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，∴ ．