Question

已知：如圖，直線y＝－x＋4與x軸相交于點A，與直線y＝x相交于點P．

(1)求點P的坐標．

(2)請判斷△OPA的形狀并說明理由．

(3)動點E從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動(E不與點O、A重合)，過點E分別作EF⊥x軸于F，EB⊥y軸于B，設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．

求：①S與t之間的函數關系式．

②當t為何值時，S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)　1分 　　解得　2分 　　所以點P的坐標為(2，2) 　　(2)將y＝0代入y＝－x＋4，－x＋4＝0，所以x＝4，即OA＝4　4分 　　作PD⊥OA于D，則OD＝2，PD＝2， 　　∵tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°　5分 　　∵OP＝＝4 　　∴△POA是等邊三角形．　6分 　　(3)①當0＜t≤4時，如下圖， 　　在Rt△EOF中，∵∠EOF＝60°，OE＝t， 　　∴EF＝，OF＝，∴S＝·OF·EF＝　7分 　　當4＜t＜8時，如下圖，設EB與OP相交于點C，易知：CE＝PE＝t－4，AE＝8－t， 　　∴AF＝4－，EF＝(8－t)，∴OF＝OA－AF＝4－(4－)＝， 　　∴S＝(CE＋OF)·EF＝(t－4＋t)×(8－t) 　　＝－t2＋4t－8　8分 　　②當0＜t≤4時，S＝，t＝4時，S最大＝2． 　　當4＜t＜8時，S＝－t2＋4t－8＝－(t－)2＋ 　　t＝時，S最大＝　9分