Question

【題目】如圖1，以直線MN上的線段BC為邊作正方形ABCD，CH平分∠DCN，點E為射線BN上一點，連接AE，過點E作AE的垂線交射線CH于點F，探索AE與EF的數量關系。

(1)閱讀下面的解答過程。并按此思路完成余下的證明過程

當點E在線段BC上，且點E為BC中點時，AB=EF

理由如下：

取AB中點P，達接PE

在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC

∴△BPE等腰三角形，AP=BC

∴∠BPB=45°

∴∠APBE=135°

又因為CH平分∠DCN

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=135°

∴∠APE=∠ECF

余下正明過程是：

(2)當點E為線段AB上任意一點時，如圖2，結論“AE=EF”是否成立，如果成立，請給出證明過程；

(3)當點E在BC的延長線時，如圖3，結論“AE=EF”是否仍然成立，如果成立，請在圖3中畫出必要的輔助線(不必說明理由)。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，理由見解析；（3）成立，圖形見解析

【解析】

(1) 取AB中點P，連接PE,得出∠APE=∠ECF，再根據同角的余角相等得出∠BAE=∠CEF，進而得出ΔAPE≌ΔECF，求出結果;

(2) 在AB上截取BN=BE,類比（1）的證明方法即可得出結果;

(3) 在BA延長線上取一點Q，使BQ=BE，連接EQ, 類比（1）的證明方法即可得出結果.

(1)余下證明過程為：

∵∠ABE=90°

∴∠BAE+∠AEB=90°

∵∠AEF=90°

∴∠BAE=∠CEF

∴ΔAPE≌ΔECF

∴AE=EF.

(2)成立

證明：在AB上截取BN=BE

在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC

∴ΔBNE為等腰三角形，AN=EC

∴∠BNE=45°

∴∠ANE=135°

又因為GH平分∠DCN

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=135°

∴∠ANE=∠ECF

由(1)得∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°

∴∠BAE=∠CEF

∴ΔANE≌ΔECF

∴AE=EF

(3)如圖

證明：在BA延長線上取一點Q，使BQ=BE，連接EQ,

在正方形ABCD中，
∵AB=BC，
∴AQ=CE．
∵∠B=90°，
∴∠Q=45°．
∵CH平分∠DCN，∠DCN=∠DCB=90°，
∴∠HCE=∠Q=45°．
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠AEB．
∵∠AEF=∠QAD=90°，
∴∠QAE=∠CEF．
∴△QAE≌△CEF．
∴AE=EF．