Question

15、已知，如圖，銳角△ABC中，AD⊥BC于D，H為垂心（三角形三條高線的交點(diǎn)）；在AD上有一點(diǎn)P，且∠BPC為直角．
求證：PD²=AD•HD

Answer 1

分析：連接GH并延長交AB開E，即可證明Rt△ABD∽Rt△CHD，即可求得AD：CD=BD：HD，根據(jù)△BPD∽△PCD即可求得BD：PD=PD：CD，即可解題．

解答：解：如圖，連接GH并延長交AB開E．
則CE⊥AB，
∴Rt△ABD∽Rt△CHD，
∴AD：CD=BD：HD，
∴AD•HD=BD•CD，
又△BPD∽△PCD，
∴BD：PD=PD：CD，
∴PD²=BD•CD，
∴PD²=AD•HD．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定，相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，本題中求證BD：PD=PD：CD是解題的關(guān)鍵．