Question

【題目】如圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA=3，OC=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．

（1）直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；
（2）設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；
（3）在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最小？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：E（3，1）；F（1，2）．
（2）解：在Rt△EBF中，∠B=90°，

∴EF= ．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，n），其中n＞0，

∵頂點(diǎn)F（1，2），

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+2（a≠0）．

① 如圖1，

當(dāng)EF=PF時(shí)，EF2=PF2，

∴12+（n﹣2）2=5．

解得n1=0（舍去）；n2=4．

∴P（0，4）．

∴4=a（0﹣1）2+2．

解得a=2．

∴拋物線的解析式為y=2（x﹣1）2+2

② 如圖2，

當(dāng)EP=FP時(shí)，EP2=FP2，

∴（2﹣n）2+1=（1﹣n）2+9．

解得 （舍去）

③當(dāng)EF=EP時(shí)，EP= ，這種情況不存在．

綜上所述，符合條件的拋物線解析式是y=2（x﹣1）2+2．

（3）解：存在點(diǎn)M，N，使得四邊形MNFE的周長最小．

如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，

連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，則點(diǎn)M，N就是所求點(diǎn)．

∴E′（3，﹣1），F(xiàn)′（﹣1，2），NF=NF′，ME=ME′．

∴BF′=4，BE′=3．

∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′= ．

又∵ ，

∴FN+MN+ME+EF=5+ ，此時(shí)四邊形MNFE的周長最小值是 ．

【解析】（1）首先依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明四邊形ADFB是正方形，故此可得到BF=AB=OC=2，則CF=3-2=1，因而E、F的坐標(biāo)就可以求出；
（2）由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），故此可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）2+2，然后分為以下三角形情況進(jìn)行解答即可：當(dāng)EF是腰，EF=PF時(shí)，已知E、F點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出EF的長，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，n），根據(jù)勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐標(biāo)．當(dāng)EF是腰，EF=EP時(shí)，可以判斷E到y(tǒng)軸的最短距離與EF的大小關(guān)系，只有當(dāng)EF大于E到y(tǒng)軸的距離，P才存在．當(dāng)EF是底邊時(shí)，EP=FP，根據(jù)勾股定理就可以得到關(guān)于n的方程，就可以解得n的值．
（3）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，依據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得到NF=NF′，ME=ME′，然后依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得到FN+NM+ME的最小值等于E′F′，故此可得到四邊形MNFE的周長的最小值.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．