Question

【題目】如圖，邊長均為的正和正原來完全重合．如圖，現保持正不動，使正繞兩個正三角形的公共中心點按順時針方向旋轉，設旋轉角度為．（注：除第題中的第②問，其余各問只要直接給出結果即可）

當多少時，正與正出現旋轉過程中的第一次完全重合？

當時，要使正與正重疊部分面積最小，可以取哪些角度？

旋轉時，如圖，正和正始終具有公共的外接圓．當時，記正與正重疊部分為六邊形．當在這個范圍內變化時，

①求面積相應的變化范圍；

②的周長是否一定？說出你的理由．

Answer 1

【答案】；當、或時重疊部分面積最小；①；②的周長一定；理由見解析.

【解析】

（1）因為當B′與A重合時正△A'B'C'與正△ABC出現旋轉過程中的第一次完全重合，故α=120°；

（2）當△A′B′C′中任意一條邊與△ABC平行時重疊部分面積最小，由（1）可知當B′與A重合時正△A'B'C'與正△ABC出現旋轉過程中的第一次完全重合時α=60°，所以當α=60°、180°或300°時重疊部分面積最小；

（3）①由于兩三角形的邊長均為6，所以當A′B′∥BC時，△ADI為等邊三角形，所以ID=2，所以S△ADI=IDAIsin60°=×2×2×=，進而可得出結論；

②連接AB′，根據AB=A'B'，可得出，再根據圓周角定理即可得出IA=IB'，DA=DA'，進而可得出結論．

∵當與重合時正與正出現旋轉過程中的第一次完全重合，此時點與重合，旋轉角度，

∴當時，正與正

出現旋轉過程中的第一次完全重合；

當中任意一條邊與平行時重疊部分面積最小，

∵由可知當與重合時正與正出現旋轉過程中的第一次完全重合時，

∴當、或時重疊部分面積最小；

①∵兩三角形的邊長均為，

∴當時，為等邊三角形，

∴，

∴，

∴面積相應的變化范圍為：

②的周長一定；理由如下：

連接，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴的周長：．