Question

如圖，過圓心O的割線PAB交⊙O于A、B，PC切⊙O于C，弦CD⊥AB于點H，點H分AB所成的兩條線段AH、HB的長分別為2和8．求PA的長．

Answer 1

解：如圖，連接OC；
∵AB是直徑，CD⊥AB于點H，而AH=2，HB=8，
∴AB=10，OH=3，
∴HC²=AH•HB=2×8=16；
又∵PC是切線，
∴∠PCO=90°，而∠CHO=∠CHP=90°，
∴△CHO∽△PHC，
∴HC²=PH•OH=（PA+AH）OH=（AP+2）×3；
即16=（PA+2）×3’；
∴AP=．
分析：連接OC，由CD⊥AB于點H知道HC²=AH•HB，這樣可以求出CH的長，又PC是切線可以得到∠PCO=90°；而∠CHO=∠CHP=90°，由此可以證明△CHO∽△PHC，則有CH²=PH•OH，利用它可以求出PA的長了．
點評：此題首先利用相交弦定理求出CH，然后利用相似三角形的性質求出PA．