Question

【題目】△ABC和△DBE是繞點B旋轉的兩個相似三角形，其中∠ABC與∠DBE、∠A與∠D為對應角．

(1)如圖①，若△ABC和△DBE分別是以∠ABC與∠DBE為頂角的等腰直角三角形，且兩三角形旋轉到使點B、C、D在同一條直線上的位置時，請直接寫出線段AD與線段EC的關系；

(2)若△ABC和△DBE為含有30°角的直角三角形，且兩個三角形旋轉到如圖②的位置時，試確定線段AD與線段EC的關系，并說明理由；

(3)若△ABC和△DBE為如圖③的兩個三角形，且∠ACB＝α，∠BDE＝β，在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數是否改變？若不改變，直接用含α、β的式子表示夾角的度數；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）線段AD與線段CE的關系是AD⊥EC，AD＝EC；（2）AD⊥CE，理由詳見解析； （3）直線AD與EC夾角的度數不改變，且夾角度數為(180－α－β)度.

【解析】

（1）連接AD、CE，然后證得△ABD≌△BCE，根據所得的等角和等邊來判斷AD、EC的關系．
（2）連接AD、EC并延長，設交點為點F，根據已知條件，易證得△ABD∽△CBE，得AB：BC＝BD：BE，而∠1、∠2同為∠3的余角，則可證得△ABD＝△CBE，得∠5＝∠7＋30°，而∠6＝120°－∠5，由此可證得∠7＋∠6＝90°，即AD⊥CE．
（3）根據上面的求解過程可知：在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數不改變，解題思路和方法同（2）．

解：(1)線段AD與線段CE的關系是AD⊥EC，AD＝EC；

(2)如圖②，連接AD、EC并延長，設交點為點F，∵△ABC∽△DBE，∴=，

∴=.∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，

∴△ABD∽△CBE.∴=.在Rt△ACB中，∠ACB＝30°，tan∠ACB＝，∵tan30°＝，∴.

∵∠DBE＝90°，∠DEB＝30°，∴∠4＝60°，∴∠5＋∠6＝120°.∵△ABD∽△CBE，∴∠5＝∠CEB＝30°＋∠7，∴∠7＝∠5－30°，∠6＝120°－∠5，∴∠7＋∠6＝90°，∴∠DFE＝90°即AD⊥CE；

(3)在繞點B旋轉的過程中，直線AD與EC夾角的度數不改變，且夾角度數為(180－α－β)度