Question

如圖①，AB是半圓O的直徑，以OA為直徑作半圓C，P是半圓C上的一個動點（P與點A，O不重合），AP的延長線交半圓O于點D，其中OA=4．
（1）判斷線段AP與PD的大小關系，并說明理由；
（2）連接OD，當OD與半圓C相切時，求的長；
（3）過點D作DE⊥AB，垂足為E（如圖②），設AP=x，OE=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）AP=PD．理由如下：如圖①，連接OP．利用圓周角定理知OP⊥AD．然后由等腰三角形“三合一”的性質證得AP=PD；
（2）由三角形中位線的定義證得CP是△AOD的中位線，則PC∥DO，所以根據平行線的性質、切線的性質易求弧AP所對的圓心角∠ACP=90°；
（3）分類討論：點E落在線段OA和線段OB上，這兩種情況下的y與x的關系式．這兩種情況都是根據相似三角形（△APO∽△AED）的對應邊成比例來求y與x之間的函數關系式的．
解答：解：（1）AP=PD．理由如下：
如圖①，連接OP．
∵OA是半圓C的直徑，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；

（2）如圖①，連接PC、OD．
∵OD是半圓C的切線，
∴∠AOD=90°．
由（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC，
∴PC∥OD，
∴∠ACP=∠AOD=90°，
∴的長==π；

（3）分兩種情況：
①當點E落在OA上（即0＜x≤2時），如圖②，連接OP，則∠APO=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△APO∽△AED，
∴=．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y，
∴=，
∴y=-x²+4（0＜x≤2）；
②當點E落在線段OB上（即2＜x＜4）時，如圖③，連接OP．
同①可得，△APO∽△AED，
∴=．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，
∴=，
∴y=x²-4（2＜x＜4）．
點評：本題綜合考查了圓周角定理、圓的切線的性質以及相似三角形的判定與性質．解答（3）題時，要分類討論，以防漏解．解答幾何問題時，要數形結合，使抽象的問題變得形象化，降低題的難度與梯度．