Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線l： 與x軸、y軸分別交于點M，N，高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移，在平移過程中，得到△A1B1C1，當點B1與原點重合時，解答下列問題：

（1）求出點A1的坐標，并判斷點A1是否在直線l上；

（2）求出邊A1C1所在直線的解析式；

（3）在坐標平面內找一點P，使得以P、A1、C1、M為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）A1（，3），在直線上；（2）；（3）P1（，3），P2（，﹣3），P3（﹣，3）．

【解析】試題分析：

(1) 根據題意畫出示意圖，過點A1作x軸的垂線AD，在Rt△A1DB1中利用等邊三角形的性質和勾股定理可以求得線段A1D和B1D的長，進而寫出點A1的坐標. 將點A1的橫坐標代入直線l的解析式，求得相應的縱坐標，通過對比求得的縱坐標和點A1的縱坐標可以判斷點A1與直線l的位置關系.

(2) 根據等邊三角形的邊長容易得到點C1的坐標. 利用點A1和點C1的坐標，結合一次函數的一般形式，可以獲得關于待定系數的方程，求解這些方程進而可以寫出邊A1C1所在直線的解析式.

(3) 由于利用△A1C1M的三個內角均可以構造出符合題意的平行四邊形，所以本小題應對這三種情況分別進行討論. 根據題意畫出各種情況的示意圖. 當以∠A1C1M為平行四邊形的一個內角構造平行四邊形時，可以過點A1作y軸的垂線AE，利用Rt△A1B1E中的幾何關系求得線段A1E和B1E的長. 利用點M的坐標和等邊三角形的邊長可以得到線段C1M的長，進而獲得線段A1P的長，從而可以寫出點P的坐標. 當以∠A1MC1為平行四邊形的一個內角構造平行四邊形時，利用Rt△A1B1F中的幾何關系和線段C1M的長，可以求得線段A1F和B1F的長，進而寫出點P的坐標. 當以∠C1A1M為平行四邊形的一個內角構造平行四邊形時，可以過點P作x軸的垂線PG，利用平行四邊形的性質獲得線段PM的長，利用Rt△PGM中的幾何關系和線段B1M的長，可以求得線段PG和OG的長，進而寫出點P的坐標.

試題解析：

(1)

如圖，過點A1作A1D⊥OM，垂足為D.

∵△A1B1C1是等邊三角形，A1D⊥OM，

∴∠B1A1D=30°，

∴在Rt△A1DB1中， ，

∵A1D=3，

∴在Rt△A1DB1中， ，

∴， .

∴點A1的坐標為(, 3).

由直線l的解析式，得

當x=時， ，

∴點A1在直線l上.

(2) ∵△A1B1C1是等邊三角形， ，

∴.

∴點C1的坐標為(, 0).

設直線A1C1的解析式為y=kx+b (k≠0).

將點A1 (, 3)，點C1 (, 0)的坐標分別代入直線A1C1的解析式，得

，

解之，得

，

∴直線A1C1的解析式為.

(3) 點P的坐標為(, 3)，(, 3)或(, -3). 求解過程如下.

根據題意，分別對下面三種情況進行討論.

①若以∠A1C1M為平行四邊形的一個內角，則所求平行四邊形為平行四邊形A1C1MP.

如圖①，過點A1作A1E⊥ON，垂足為E.

由直線l的解析式，得

當y=0時， ，

∴x=.

∴點M的坐標為(, 0).

∴OM=.

∵，

∴，

∴.

∵△A1B1C1是等邊三角形，

∴∠A1B1C1=60°，

∴∠A1B1E=90°-∠A1B1C1=90°-60°=30°.

∴在Rt△A1EB1中， ， .

∵A1P∥C1M，A1E⊥ON，

∴點E，A1，P在同一條直線上，

∴.

∴點P的坐標為(, 3).

②若以∠A1MC1為平行四邊形的一個內角，則所求平行四邊形為平行四邊形PC1MA1.

∵A1P∥C1M，

∴A1F⊥ON，

∴在Rt△A1FB1中， ， .

∵，

∴.

∴點P的坐標為(, 3).

③若以∠C1A1M為平行四邊形的一個內角，則所求平行四邊形為平行四邊形A1C1PM.

如圖③，過點P作PG⊥OM，垂足為G.

∵△A1B1C1是等邊三角形，

∴∠A1C1B1=60°，

∴∠A1C1M=180°-∠A1C1B1=180°-60°=120°，

∵A1C1∥PM，

∴∠PMC1=∠A1C1M=120°，

∴∠PMG=180°-∠PMC1=180°-120°=60°，

∴在Rt△PMG中，∠MPG=90°-∠PMG=90°-60°=30°.

∵，

∴在Rt△PGM中， ，

.

∵OM=，

∴.

∴點P的坐標為(, -3).

綜上所述，點P的坐標為(, 3)，(, 3)或(, -3).