Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+2x+m．

（1）如果拋物線過點A（3，0），與y軸交于點B，求拋物線的解析式及點B、C的坐標；

（2）如圖，直線AB與這條拋物線的對稱軸交于點P，求直線AB的表達式和點P的坐標．

（3）該拋物線有一點D（x，y），使得S△ABC=S△ACD，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（0，3）；（2）P（1，2）；（3）D的坐標為（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．

【解析】

試題分析：（1）代入A點的坐標求得m的值即可求得解析式，分別令x=0和y=0，列出方程，解方程即可求得B、C的坐標；

（2）根據待定系數法求得直線AB的解析式，求得拋物線的對稱軸x=1，把x=1代入直線的解析式即可求得P的坐標；

（3）根據面積相等且底邊相等的三角形的高也應該相等得出D的縱坐標為±3，代入拋物線的解析式即可求得．

解：（1）∵拋物線過點A（3，0），

∴0=﹣9+6+m，

解得m=3，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0，則，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=3，x2=﹣1，

∴C（﹣1，0），

令x=0，得y=3，

∴B（0，3）；

（2）∵A（3，0），B（0，3），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，解得，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+3，

∵拋物線y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴對稱軸x=1，

把x=1代入y=﹣x+3得y=2，

∴P（1，2）；

（3）根據題意得D的縱坐標為±3，

把y=3代入y=﹣x2+2x+3得，﹣x2+2x+3=3，

解得x=0或2，

把y=﹣3代入y=﹣x2+2x+3得，﹣x2+2x+3=﹣3，

解得x=1，

∴D的坐標為（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）．