Question

【題目】如圖,已知,,,，和交于點，則下列結論：①；②；③平分；④.其中正確的有____.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

如圖先證明△ABE≌△AFC，得到BE=CF，利用“8字型”證明∠CON=∠CAE=60°，從而得到∠BOC=180°-∠CON=120°；連接AO，過A分別作AP⊥CF與P，AM⊥BE于Q ，通過S△ABE=S△AFC，得到AP=AQ，利用角平分線的判定定理得AO平分∠EOF，在OE上截取OD=OA，連接AD，證明△AFO≌△BAD，再由此可以解決問題．

解：由題意可知AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠EAC=60°，

∴∠FAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，

即∠FAC=∠BAE，

在△ABE與△AFC中， ，

∴△ABE≌△AFC（SAS），

∴BE=FC，故①正確，∠AEB=∠ACF，

∵∠EAN+∠ANE+∠AEB=180°，∠CON+∠CNO+∠ACF=180°，∠ANE=∠CNO

∴∠CON=∠CAE=60°

∴∠BOC=180°-∠CON=120°，故②正確，

連接AO，過A分別作AP⊥CF與P，AM⊥BE于Q，如圖，

∵△ABE≌△AFC，

∴S△ABE=S△AFC，

∴CFAP=BEAQ，而CF=BE，

∴AP=AQ，

∴OA平分∠FOE，所以③正確，

在OE上截取OD=OA，連接AD

∵∠BOC=120°，AO平分∠FOE

∴∠AOD=60°

又∵OD=OA

∴△AOD為等邊三角形

∴AD=AO；∠OAD=∠FAB=60°

∴∠OAD+∠BAO=∠FAB+∠BAO

∴∠FAO=∠BAD

又∵FA=AB

∴△AFO≌△BAD

∴OF=BD=BO+OD=BO+AO，④正確

故答案為：①②③④．