Question

【題目】在直角坐標系xoy中，已知點P是反比例函數圖象上一個動點，以P為圓心的圓始終與y軸相切，設切點為A．

（1）如圖1，⊙P運動到與x軸相切，設切點為K，試判斷四邊形OKPA的形狀，并說明理由．

（2）如圖2，⊙P運動到與x軸相交，設交點為B，C．當四邊形ABCP是菱形時：

①求出點A，B，C的坐標．

②在P點右側的反比例函數圖像是否存在上點M，使△MBP的面積等于菱形ABCP面積．若存在，試求出滿足條件的M點的坐標，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形為正方形，理由見解析；（2）A（0，），B（1，0），C（3，0）．M（）

【解析】

試題分析：（1）根據AP、PK是圓的半徑可得出AP=PK，再由軸，軸，可得出結論；

（2）①連接PB，設點P（x，），過點P作與G，則半徑，有菱形的性質得，可知等邊三角形，在中，，PB=PA=x，，利用sin，列方程求x即可．

②先根據菱形的性質得出P點的坐標，再由待定系數法求出直線BP的解析式，設出M點的坐標，根據的面積等于菱形ABCP的面積得出m的值，進而可得出點M的坐標．

試題解析：

（1）四邊形OKPA是正方形．

∵⊙P分別與兩坐標軸相切，

∴，．

∴．

∵，

∴．

∴四邊形OKPA是矩形．

∵AP=KP，

∴四邊形OKPA是正方形．

（2）①連接PB，設點P的橫坐標為x，則其縱坐標為，

過點P作PG⊥BC于G．

∵四邊形ABCP為菱形，

∴BC=PA=PB=PC（半徑）．

∴為等邊三角形．

在中，，，．

，即．

解得：（負值舍去）．

∴，．

易知四邊形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3

∴可求得：A（0，），B（1，0） C（3，0）．

②利用B（1，0），P（2， ）易得BP: y= x-

過M作ME∥x軸，交線段BP于點E

設M（m，），則E（+1 ， ）

ME=m--1

由MBP的面積=菱形ABCP的面積得：（m--1）=

化簡得，解得（舍）

所以M（，）