Question

類比學(xué)習(xí)：
我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1，∠APB就是圓周角，弧AB是∠APB所夾的弧．
類似的，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2，∠APB就是圓外角，弧AB和弧CD是∠APB所夾的弧，
新知探索：
圖（2）中，弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，∠APB=

25

°，
歸納總結(jié)：
（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；
（2）圓外角的度數(shù)等于

所夾兩弧的度數(shù)差的一半

．
新知應(yīng)用：
直線y=-x+m與直線y=-

3

3

x+2相交于y軸上的點C，與x軸分別交于點A、B．經(jīng)過A、B、C三點作⊙E，點P是第一象限內(nèi)⊙E外的一動點，且點P與圓心E在直線AC的同一側(cè)，直線PA、PC分別交⊙E于點M、N，
設(shè)∠APC=θ．
①求A點坐標(biāo)；         ②求⊙E的直徑；
③連接MN，求線段MN的長度（可用含θ的三角函數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：新知探索：
根據(jù)弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，得出∠BDA=40°，∠DAC=15°，再利用三角形外角的性質(zhì)求出∠APB即可；
歸納總結(jié)：
根據(jù)由圖2所求∠APB的度數(shù)，進(jìn)而求出圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半，
新知應(yīng)用：
①直線y=-

3

3

x+2與y軸的交點可以求出，把這點的坐標(biāo)就可以求出直線y=-x+m的解析式，兩個函數(shù)與x軸的交點就可以求出；
②根據(jù)三角函數(shù)可以求出角的度數(shù)．根據(jù)OC、OA、OB的長度根據(jù)三角函數(shù)可以根據(jù)三角函數(shù)求出角的度數(shù)；
③根據(jù)正弦定理就可以解決．

解答：解：新知探索：
∵弧AB和弧CD度數(shù)分別為80°和30°，
∴∠BDA=40°，∠DAC=15°，
∴∠APB=∠BDA-∠DAC=15°，
故答案為：25；
歸納總結(jié)：
（2）根據(jù)上面所求可以得出：圓外角的度數(shù)等于所夾兩弧的度數(shù)差的一半，
故答案為：所夾兩弧的度數(shù)差的一半； 

新知應(yīng)用：
①直線y=-

3

3

x+2中令x=0，
解得y=2，因而C點的坐標(biāo)是（0，2），
把（0，2）代入直線y=-x+m，
解得m=2，
∴解析式是y=-x+2，
令y=0，解得x=2，則A點的坐標(biāo)是（2，0），

②在y=-

3

3

x+2中令y=0，
解得x=2

3

，則B的坐標(biāo)是（2

3

，0）；
根據(jù)A、B、C的坐標(biāo)得到OC=2，OA=2，OB=2

3

，
根據(jù)三角函數(shù)得到：tan∠CBO=

CO

BO

=

3

3

，
故∠ABC=30°．
如圖1，連接AE，CE，過點E作EW⊥y軸于點W，ET⊥x軸于點T，
則∠AEC=60°，
∴△ACE是等邊三角形，邊長是2

2

，
∵∠WCE=180°-∠OCA-∠ECA=75°，
∠EAT=180°-∠CAO-∠EAC=75°，
∴∠WCE=∠EAT，
在△WCE和△TAE中，

∠EWC=∠ETA ∠WCE=∠TAE CE=AE

，
∴△WCE≌△TAE，
∴WE=ET，
∵ET⊥AB，
∴AT=BT，
∵AB=OB-OA=2

3

-2，
∴AT=

3

-1，
∴OT=

3

+1，故ET=

3

+1，
因而E的坐標(biāo)是（

3

+1，

3

+1），
故AE=

( 3 +1)2+( 3 -1)2

=2

2

，
即半徑是2

2

，故⊙E的直徑為4

2

，

③如圖2所示：MN為⊙E中任一弦，它對的圓周角為∠B，當(dāng)AM為直徑，
則∠ANM為直角，則sinB=sinA=

MN

AM

，
即MN=AM•sinA①（其實就是正弦定理），
根據(jù)點P在⊙E外，如圖3，連接AN，
則∠MAN=∠ANC-∠P=∠ABC-∠P=30°-θ，
由①得：MN=4

2

sin（30°-θ）．

點評：本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，并且考查了三角函數(shù)的定義等知識，利用當(dāng)AM為直徑得出MN=AM•sinA繼而得出答案是解題關(guān)鍵．