Question

（2004•天津）如圖，正△ABC內接于⊙O，P是劣弧BC上任意一點，PA與BC交于點E，有如下結論：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正確結論的個數為（ ）

A．3個
B．2個
C．1個
D．0個

Answer 1

【答案】分析：根據題意：易得△APC≌△BDC．即AP=BD，有PA=DB=PB+PD=PB+PC正確．同時可得：②錯誤，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE=PB•PC；③正確．
解答：解：延長BP到D，使PD=PC，連接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
則△PCD為等邊三角形，
∵△ABC為正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正確；
由（1）知△PBE∽△PAC，則=，=，+=+≠1，
∴②錯誤；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴
∴PA•PE=PB•PC，故③正確；
故選B．
點評：本題考查等邊三角形的性質與運用，其三邊相等，三個內角相等，均為60°．