Question

【題目】已知，點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC．

（1）如圖1，若點O在BC上，求證：△ABC是等腰三角形．

（2）如圖2，若點O在△ABC內部，求證：AB=AC．

（3）若點O點在△ABC的外部，△ABC是等腰三角形還成立嗎？請畫圖表示．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）若O點在△ABC的外部，AB=AC不一定成立；圖形見解析.

【解析】

（1）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根據等角對等邊的性質，即可得證；

（2）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據等邊對等角的性質，易證得∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊的性質，AB=AC；

（3）首先過點O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延長線于點E，易證得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根據等邊對等角的性質，易證得∠ABC=∠ACB，根據等角對等邊的性質，AB=AC．

（1）證明：如圖1，

過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

則∠OEB=∠OFC=90°，

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2）證明：如圖2，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

則∠OEB=∠OFC=90°，

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中，

，

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠ABO=∠ACO，

∵∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）解：若O點在△ABC的外部，AB=AC不一定成立，

理由是：①當∠A的平分線和BC的垂直平分線重合時，如圖3，

過O作OE⊥AB交AB的延長線于E，OF⊥AC交AC的延長線于F，

則∠OEB=∠OFC=90°，

∵點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，

∴OE=OF，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠EBO=∠FCO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠ABC=180°﹣（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°﹣（∠OCB+∠FCO），

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

②當∠A的平分線和BC的垂直平分線不重合時，如圖④，

此時∠ABC和∠ACB不相等，

∴AB≠AC，

∴△ABC是等腰三角形不一定成立．