Question

如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AE∥CD交BC于E，O是AC的中點，AB=

3

，AD=2，BC=3，下列結論：①AC=2AB；②∠CAE=30°；③△ABE≌△AOD；④BO⊥CD；其中正確的是

①②③④

（將正確序號都填上）．

Answer 1

分析：根據梯形的性質和直角三角形中的邊角關系，逐個進行驗證，即可得出結論．

解答：解：在直角三角形ABC中，∵AB=

3

，BC=3，
∴tan∠ACB=

3

3

．
∴∠ACB=30°．
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2

3

．故①是正確的；
∵AD∥BC，AE∥CD，
∴四邊形ADCE是平行四邊形．
∴CE=AD=2．
∴BE=1．
在直角三角形ABE中，tan∠BAE=

3

3

，∠BAE=30°．
∴∠CAE=30°．故②是正確的；
∴AE=2BE=2．
∵AE=CE，
∴平行四邊形ADCE是菱形．
∴∠DCE=∠DAE=60°．
∴∠BAE=30°
又∵∠CAE=30°
∴∠BAO=60°
又∵AB=AO
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠ABO=60°．
∴∠OBE=30°，
∵∠DCE=60°
∴BO⊥CD．④是正確的；
∵∠ACB=30°，AD∥BC，
∴∠DAC=30°，
AO=CO=

1

2

AC=AB，
在△ABE和△AOD中

AE=AD ∠DAO=∠EAB AO=AB

，
∴△ABE≌△AOD（SAS），故③正確．
綜上所述：①②③④都是正確的，
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定及性質的運用，直角三角形的性質的性質的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質的運用．解答時證明出四邊形AECD是菱形是解答本題的關鍵．