Question

（本小題滿分14分）

已知：如圖，拋物線與y軸交于點C（0，），  與x軸交于點A、 B，點A的坐標為（2，0）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點P是線段AB上的動點，過點P作PD∥BC，交AC于點D，連接CP．當△CPD的面積最大時，求點P的坐標；

（3）若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點Q，與直線BC交于點F，點M 的坐標為（，0）．問：是否存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形？若存   在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

（1）

（2）

（3）或

解析:（1）由題意，得

       解得.……2分

    ∴所求拋物線的解析式為：．.……3分

(2)設點P的坐標為(x，0)，過點D作DG⊥x軸于點G．

∴由，得．

    ∴點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（-4，0）．.……4分

    ∴AB=6，BP=2-x．

    ∵點P在線段AB上，

    ∴．.……5分

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ABC

∴   

即，∴．

 ∴

  

   .……8分

又，

∴當時，有最大值3，此時P．.……9分

（3）存在．

在△OMF中．

①若MO=MF，∵B（-4，0），M（-2，0），故BM=OM=MF=2．

又在Rt△BOC中，OB=OC=4，∴∠OBC=45°．∴∠MFB=∠OBC=45°．

∴∠BMF=90°．此時，點F的坐標為（-2，-2）．

由，得．

此時，點Q的坐標為：．.……11分

②若OF=MF，過點F作FE⊥x軸于點E，

由等腰三角形的性質得：，∴BE=3，

∴在等腰直角△BEF中，EF=BE=3．∴F（-1，-3）．

由，得．

此時，點Q的坐標為：．.……13分

③若OM=OF，∵OB=OC=4，且∠BOC=90°，∴，

∴點O到BC的距離為，而OF=OM=2<，

此時，不存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．.……14分

綜上所述，存在這樣的直線，使得△OMF是等腰三角形．所求點Q的坐標為：

或．