Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，對角線CA平分∠BCD，且梯形的周長為20，求AC的長及梯形面積S．

Answer 1

分析：根據等腰梯形在同一底上的兩個角相等和角平分線的定義，求得∠ABC=60°，∠ACB=∠CD=30°．根據30°的直角三角形的性質和等腰三角形的性質得到梯形的各邊之間的關系，根據周長列方程求得各邊，再計算它的高，就可求得其面積．

解答：解：∵AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，對角線CA平分∠BCD，
∴∠B=∠BCD=60°，∠ACB=∠ACD=∠CAD=30°
∴∠BAC=90°
設AB=CD=x，則AD=x，BC=2x．
所以x+x+x+2x=20，x=4．
AC=

3

AB=4

3

作AE⊥BC于E，則AE=

1

2

AC=2

3

．
則梯形的面積=

1

2

（4+8）×2

3

=12

3

．
即AC的長為4

3

，梯形面積為12

3

．

點評：本題考查與梯形有關的問題，能夠根據角的度數發現30°的直角三角形和等腰三角形，從而找到各邊之間的關系，再進行計算．