Question

如圖，已知A（5，-4），⊙A與x軸分別相交于點B、C，⊙A與y軸相且于點D，
（1）求證過D、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）連接BD，求tan∠BDC的值；
（3）點P是拋物線頂點，線段DE是直徑，直線PC與直線DE相交于點F，
∠PFD的平分線FG交DC于G，求sin∠CGF的值．

Answer 1

分析：（1）已知了A點坐標，即可得出圓的半徑和OD的長，連接AB，過A作BC的垂線不難求出B、C的坐標．然后可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）可取弧BC的中點H，連接AH、AB，那么根據垂徑定理和圓周角定理不難得出∠BDC=

1

2

∠BAC=∠BAH，由此可求出∠BDC的正切值．（也可通過求弦切角∠PCO的正切值來得出∠BDC的正切值）
（3）由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+

1

2

∠CFD，而∠PCO=∠PFD=∠BDC，那么∠CGF=∠CDF+

1

2

∠BDC=∠HDF，在直角三角形ADH中，DA=AH，因此∠HDF=45°，即∠CGF=45°，據此可求出其正弦值．

解答：解：（1）D（0，-4），B（2，0），C（8，0）；
∴拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

5

2

x-4
∴y=-

1

4

（x-5）²+

9

4

．

（2）由垂徑定理，作弧BC的中點H，連接AH、AB，則
∠BDC=∠BAH=

1

2

∠BAC，
∴tan∠BDC=tan∠BAH=

3

4

．

（3）由（1）可知：P（5，

9

4

），
可求得直線PC的解析式為y=-

3

4

x+6．
設M為直線PC與y軸的交點，則M的坐標為（0，6）．
∴MD=MC=10，
∴∠MCD=∠MDC，
∴∠MCA=∠MDA=∠MDC+∠CDA=90°，
∴∠MCO=∠BDC=∠PFD，
∴∠CGF=∠GDF+

1

2

∠PFD=∠GDF+

1

2

∠BDC=∠HDF=45°，
∵DA=AH=半徑，
∴sin∠CGF=sin45°=

2

2

．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、切線的性質、弦切角定理和垂徑定理等知識．