Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C（0，-6），與x軸交于點A，B，且B點的坐標為（3，0）．

（1）求該拋物線的解析式．

（2）若點P是AB上的一動點，過點P作PE∥AC，交BC于E，連接CP，求△PCE面積的最大值．

（3）若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，且△OMD為等腰三角形，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1） y=x2+x-6；（2）最大值為.（3）（-3，-3）或（-，-）．

【解析】

試題分析：（1）把B點和C點坐標分別代入y=x2+bx+c得到關于b、c的方程組，然后解方程組求出b、c即可得到拋物線解析式；

（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；

（3）分三種情況進行討論即可.

試題解析：（1）把點C（0，-6），B（3，0）分別代入y=x2+bx+c中，

得b=1，c=-6，∴該拋物線的解析式為y=x2+x-6

（2）令y=0，即x2+x-6=0解得x1=-6，x2=3，∴A（-6，0），S△ABC=AB×OC=27．

設P點坐標為（x，0），則PB=3-x．∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△BAC，

∴，得S△PBE=（3-x）2．

S△PCE=S△PCB-S△PBE=PB×OC-S△PBE=×（3-x）×6-（3-x）2

=-（x+）2+

∴當x=-時，S△PCE的最大值為.

（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：

（I）當DM=DO時，如答圖①所示．DO=DM=DA=3，

∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，

∴M點的坐標為（-3，-3）；

（II）當MD=MO時，如答圖②所示．

過點M作MN⊥OD于點N，則點N為OD的中點，

∴DN=ON=，AN=AD+DN=，又△AMN為等腰直角三角形，

∴MN=AN=，∴M點的坐標為（-，-）；

（III）當OD=OM時，∵△OAC為等腰直角三角形，

∴點O到AC的距離為×6=3，即AC上的點與點O之間的最小距離為3．

∵3＞3，∴OD=OM的情況不存在．

綜上所述，點M的坐標為（-3，-3）或（-，-）．