Question

（2008•大慶）如圖，將非等腰△ABC的紙片沿DE折疊后，使點A落在BC邊上的點F處．若點D為AB邊的中點，則下列結論：①△BDF是等腰三角形；②∠DFE=∠CFE；③DE是△ABC的中位線，成立的有（ ）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：根據圖形可知△DFE是△ADE對折而成，所以兩三角形全等，可得AD=DF，而D是AB中點，故有BD=DF，那么①可證；再利用∠ADF是△BDF的外角，可證∠DFB=∠EDF，那么DE∥BC，即DE是△ABC的中位線，②得證；利用DE∥BC，以及△DFE和△ADE的對折，可得∠EFC=∠ECF，即△EFC也是等腰三角形，而∠B≠∠C，即∠DFB，∠DFE，∠EFC，不會同時為60°，那么∠DFE≠∠CFE，故②不成立．
解答：解：由于△DFE是△ADE對折而成，故△DFE≌△ADE，
∴AD=FD，
又∵點D為AB邊的中點，
∴AD=BD，
∴BD=DF，即△BDF是等腰三角形，故（1）正確；
由于△DFE是△ADE對折而成，故△DFE≌△ADE，
∴∠ADE=∠FDE，
∵∠ADF=2∠FDE=∠B+∠DFB=2∠DFB，
∴∠FDE=∠DFB，
∴DE∥BC，點E也是AC的中點，故（3）正確；
同理可得△EFC也為等腰三角形，∠C=∠EFC，由于△ABC是非等腰的，
∴∠C≠∠B，也即∠EFC≠∠DFB，
∴∠EFC與∠DFB，∠DFE不都等于60°，
∴②∠DFE=∠CFE就不成立．
故選B．
點評：本題利用了：1、全等的概念，對折后能重合的圖形是全等的圖形，2、全等三角形的性質，對應角相等，3、內錯角相等，兩直線平行．