Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，給出如下定義：已知點A（2，3），點B（6，3），連接AB．如果線段AB上有一個點與點P的距離不大于1，那么稱點P是線段AB的“環繞點”．

（1）已知點C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），則是線段AB的“環繞點”的點是　 　；

（2）已知點P（m，n）在反比例函數y=的圖象上，且點P是線段AB的“環繞點”，求出點P的橫坐標m的取值范圍；

（3）已知⊙M上有一點P是線段AB的“環繞點”，且點M（4，1），求⊙M的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點D和E（2）2≤m≤4；（3）1≤r≤2+1

【解析】分析：（1）根據點A、B的縱坐標相等判斷出AB∥x軸，然后求出點C、D、E到AB的距離，再根據“環繞點”的定義判斷；
（2）當點P在線段AB的上方，當點P在線段AB的下方，根據點P到線段AB的距離為1時，即可得到結論；
（3）當點P在線段AB的下方時，且到線段AB的最小距離是1時，當點P在線段AB的上方時，且到點A的距離是1時，即可得到結論．

詳解：(1)由“環繞點”的定義可知：點P到直線AB的距離d應滿足：

∵A、B兩點的縱坐標都是3，

∴AB∥x軸，

∴點C到直線AB的距離為|1.53|=1.5>1，

點D到直線AB的距離為|3.53|=0.5<1，

點E到直線AB的距離為|33|=0<1，

∴點D和E是線段AB的環繞點；

故答案為：點D和E；

(2)當點P在線段AB的上方，點P到線段AB的距離為1時，m=2；

當點P在線段AB的下方，點P到線段AB的距離為1時，m=4；

所以點P的橫坐標m的取值范圍為：

(3)當點P在線段AB的下方時，且到線段AB的最小距離是1時，r=1；

當點P在線段AB的上方時，且到點A的距離是1時，如圖，過M作MC⊥AB，

則CM=2，AC=2，

連接MA并延長交⊙M于P，

則PA=1，

∴,即

∴⊙M的半徑r的取值范圍是