Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上。

(1).求m的值及這個二次函數的解析式；

(2).點P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P點作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于E點，設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x 。

求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；

點D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由。

                                   

Answer 1

解：(1)把A(3，4)代入y=x+m得

4=3+m ，∴m=1

由拋物線的頂點為C（3,4）可設函數解析式為y=a(x—1)² ,把A（3,4）代入得，

4=a(3—1)²   ∴ a=1

∴ 二次函數的解析式為y=(x—1)²

.(2) 由(1)知直線AB的解析式為y=x+1

∵ 點P在直線AB上，且點P的橫坐標為x，

∴點P的縱坐標y_P=x+1 ，

由PE⊥x軸知點E的橫坐標為x ，

∵ 點E在拋物線上，∴ 點E的縱坐標y_E=(x—1)²

∴ PE=y_P—y_E=（x+1）—(x—1)²= —x²+3x

即 h= —x²+3x   (0<x<3)  存在符合條件的點P，理由如下

當PE=DC時，∵ PE∥DC，且PE=DC，

∴ 四邊形DCEP是平行四邊形，

函數y=x+1當x=1時，y=2 ，

∴ D（1,2）∴ DC=2 ，∴PE=2

即  —x²+3x=2    解得x₁=1(舍去)  ,x₂=2

當x=2時，y_P=x+1=3   

∴ 點P的坐標為（2,3）