Question

【題目】 如圖，中，，動點從出發，以每秒個單位長度的速度向終點運動，過點作交于點，過點作的平行線，與過點且與垂直的直線交于點，設點的運動時間為(秒)

（1）用含的代數式表示線段的長；

（2）求當點落在邊上時t的值；

（3）設與重合部分圖形的面積為(平方單位)，求與的函數關系式；

（4）連結，若將沿它自身的某邊翻折，翻折前后的兩個三角形形成菱形，直接寫出此時的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或或.

【解析】

（1）由題意可得DF⊥AC，EF⊥AB，DE∥AB，然后利用同角的余角相等可得∠DFE=∠A，進而證明△ADF∽△FED，推出，然后根據△ADF∽△ACB，可分別用含t的式子表示出DF、AF，然后可得DE；

（2）當點落在邊上時，易得△ADF∽△DCE，列出比例式求出DC=2t，然后根據AC=20列方程求出t即可；

（3）當時，，利用三角形面積公式求解即可；當時，，作EH⊥AC交AC的延長線于點H，EF交BC于N，DE交BC于M，利用平行線分線段成比例定理求出NM，根據梯形面積公式求解即可；

（4）根據沿它自身的某邊翻折，翻折前后的兩個三角形形成菱形，可知此時為等腰三角形，然后分情況討論：①當DE=CE時，②當DC=CE時，③當DE=DC時，分別列出方程求t的值即可.

解：（1）由題意可知：DF⊥AC，EF⊥AB，DE∥AB，

∴∠ADF=90°，∠EFA=90°，

∴∠DEF=90°，∠DFA+∠DFE =90°，

∵∠DFA+∠A =90°，

∴∠DFE=∠A，

∵∠DEF=∠ADF=90°，

∴△ADF∽△FED，

∴，

∵∠C＝90°，

易得△ADF∽△ACB，

∵AC=20，BC=10，

∴AB=，

∴，，

又∵AD=10t，

∴DF=5t，AF=，

∴，

∴DE=；

（2）當點落在邊上時，

∵DE∥AB，

∴△ADF∽△DCE，

∴，

由（1）可知：DE=，AF=，AD=10t，

∴DC=2t，

∴10t+2t=20，

解得：；

（3）∵DE=，

∴EF=2DE=，

∴當時，；

當D到達C點時，t=20÷10＝2，

∴當時，，

如圖，作EH⊥AC交AC的延長線于點H，EF交BC于N，DE交BC于M，

同（2）可得DH=2t，

∴CH=10t+2t-20=12t-20，DC=20-10t，

∵BC∥DF，

∴，

∵BC∥EH，

∴，

∴，即，

∴，

∴，

綜上所述：；

（4）根據沿它自身的某邊翻折，翻折前后的兩個三角形形成菱形，可知此時為等腰三角形，

①當DE=CE時，如圖，作EH⊥DC于點H，

由（3）可得DH=2t，

∴DC=4t，

∴10t+4t=20，

解得：；

②當DC=CE時，如圖，作EH⊥AC交AC的延長線于點H，連接CE，

由（3）可知：DE=，DH=2t，CH=12t-20，DC=20-10t，

∴EH=t，

由勾股定理得：(12t-20)2+t2=(20-10t)2，

解得：；

③當DE=DC時，

∵DE=，DC=20-10t，

∴，

解得：，

綜上所述，當或或時，將沿它自身的某邊翻折，翻折前后的兩個三角形形成菱形.