Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于E交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AE=6，FB=4，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AD、OD，如圖，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD，

而OA=OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線

（2）解：設⊙O的半徑為R，

∵OD∥AE，

∴△FOD∽△FAE，

∴ = ，即 = ，

解得R=4，

∴⊙O的面積=π42=16π．

【解析】（1）連結AD、OD，根據圓周角定理可得到∠ADB=90°，即AD⊥BC，再根據等腰三角形的性質得BD=CD，則OD為△ABC的中位線，依據三角形的中位線定理可得到OD∥AC，加上EF⊥AC，于是OD⊥EF，最后，根據切線的判定定理進行證明即可；
（2）設⊙O的半徑為R，利用OD∥AE得到△FOD∽△FAE，然后依據相似三角形對應邊成比例可得到關于R的方程，從而可求得R的值，然后利用圓的面積公式求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握切線的判定定理(切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線)的相關知識才是答題的關鍵．