Question

如圖①，在?ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點P從點B出發，沿B﹣A﹣D﹣A運動，沿B﹣A運動時的速度為每秒13個單位長度，沿A﹣D﹣A運動時的速度為每秒8個單位長度．點Q從點 B出發沿BC方向運動，速度為每秒5個單位長度．P、Q兩點同時出發，當點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．連結PQ．

（1）當點P沿A﹣D﹣A運動時，求AP的長（用含t的代數式表示）．
（2）連結AQ，在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當點P與點B、點A不重合時，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數關系式．
（3）過點Q作QR∥AB，交AD于點R，連結BR，如圖②．在點P沿B﹣A﹣D運動過程中，當線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時t的值．
（4）設點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時t的值．

Answer 1

（1）108﹣8t。
（2）。
（3）當t=1或時，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分。
（4）當t=7，t=，t=時，點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC。

解析試題分析：（1）分情況討論：當點P沿A﹣D運動時，當點P沿D﹣A運動時分別可以表示出AP的值。
當點P沿A﹣D運動時，AP=8（t﹣1）=8t﹣8；
當點P沿D﹣A運動時，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t。
（2）分類討論：當0＜t＜1時，當1＜t＜時，根據三角形的面積公式分別求出S與t的函數關系式。
當點P與點A重合時，BP=AB，t=1。
當點P與點D重合時，AP=AD，8t﹣8=50，t=。
當0＜t＜1時，如圖，

作過點Q作QE⊥AB于點E，
S_△ABQ=，
即。
∴。
∴S=。
當1＜t≤時，如圖，

S=。
綜上所述， 。
（3）分類討論：當0＜t＜1時，當1＜t＜時，當＜t＜時，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可。
點P與點R重合時，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=。
當0＜t≤1時，如圖，

∵S_△BPM=S_△BQM，∴PM=QM。
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR。
在△BPM和△RQM中，，
∴△BPM≌△RQM（AAS）。∴BP=RQ。
∵RQ=AB，∴BP=AB。
∴13t=13，解得：t=1。
當1＜t≤時，如圖，

∵BR平分陰影部分面積，∴P與點R重合。
∴t=。
當＜t≤時，如圖，

∵S_△ABR=S_△QBR，∴S_△ABR＜S_{四邊形BQPR}。
∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分。
（4）分類討論：
當P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時，如圖，

∴∠C′OQ=∠OQC。
∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ。
∴∠CQO=∠COQ。∴QC=OC。
∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，
或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，
解得：t=7或t=。
當P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時，如圖，

同理由菱形的性質可以得出：OD=PD。
∴50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1），
或50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）。
50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1）無解；
由50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）解得：t=。
綜上所述，當t=7，t=，t=時，點C、D關于直線PQ的對稱點分別為C′、D′，且C′D′∥BC。