Question

已知：如圖，在正方形中，點、分別在和上，．

（1）求證：；
（2）連接交于點，延長至點，使，連接、，判斷四邊形是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明見解析（2）菱形，證明見解析

（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，．
∵，∴RtRt．∴．………………………（５分）
(2)四邊形是菱形．…………………………………………………………（7分）
∵四邊形是正方形，∴，．
∵，∴，即．∴………（10分）
∵，∴四邊形是平行四邊形．………………………………（11分）
∵，∴平行四邊形是菱形．……………………………………（12分）
（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；
（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯立（1）的結論，可證得EC=CF，根據等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相垂直平分，根據對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．