Question

【題目】拋物線過A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖①，拋物線上一點D在線段AC的上方，DE⊥AB交AC于點E，若滿足，求點D的坐標；

（3）如圖②，F為拋物線頂點，過A作直線l⊥AB，若點P在直線l上運動，點Q在x軸上運動，是否存在這樣的點P、Q，使得以B、P、Q為頂點的三角形與△ABF相似，若存在，求P、Q的坐標，并求此時△BPQ的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，）；（3）P（2，﹣2），Q（﹣3，0），S△BPQ=或P（2，2），Q（3，0），S△BPQ=或P（2，﹣5），Q（﹣1，0），S△BPQ=17或P（2，﹣1），Q（5，0），S△BPQ=5．

【解析】試題分析：（1）由對稱性和A（2，3），B（4，3），可知拋物線的對稱軸是：x=3，利用頂點式列方程組解出可得拋物線的表達式；

（2）如圖1，先利用待定系數法求直線AC的解析式，設點D（m，﹣m+6m﹣5），則點E（m，﹣2m+7），根據解析式表示DE和AE的長，由已知的比例式列式得結論；

（3）根據題意得：△BPQ為等腰直角三角形，分三種情況：

①若∠BPQ=90°，BP=PQ，如圖2，作輔助線，構建全等三角形，證明△BAP≌△QMP，可得結論；如圖3，同理可得結論；

②若∠BQP=90°，BQ=PQ，如圖4，證得：△BNQ≌△QMP，則NQ=PM=3，NG=1，BN=5，從而得出結論；如圖5，同理易得△QNB≌△PMQ，可得結論；

③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如圖6，由于AB=2≠NQ=3，此時不存在符合條件的P、Q．

試題解析：解：（1）根據題意，設拋物線表達式為y=a（x﹣3）2+h．

把B（4，3），C（6，﹣5）代入得：，解得：，故拋物線的表達式為：y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5，即：；

（2）設直線AC的表達式為y=kx+n，則：，解得：k=﹣2，n=7，∴直線AC的表達式為y=﹣2x+7，設點D（m，﹣m2+6m﹣5），2＜m＜6，則點E（m，﹣2m+7），∴DE=（﹣m2+6m﹣5）﹣（﹣2m+7）=﹣m2+8m﹣12，設直線DE與直線AB交于點G，∵AG⊥EG，∴AG=m﹣2，EG=3﹣（﹣2m+7）=2（m﹣2），m﹣2＞0，在Rt△AEG中，∴AE=（m﹣2），由，得=，化簡得，2m2﹣11m+14=0，解得：m1=，m2=2（舍去），則D（，）．

（3）根據題意得：△ABF為等腰直角三角形，假設存在滿足條件的點P、Q，則△BPQ為等腰直角三角形，分三種情況：

①若∠BPQ=90°，BP=PQ，如圖2，過P作MN∥x軸，過Q作QM⊥MN于M，過B作BN⊥MN于N，易證得：△BAP≌△QMP，∴AB=QM=2，PM=AP=3+2=5，∴P（2，﹣2），Q（﹣3，0），在Rt△QMP中，PM=5，QM=2，由勾股定理得：PQ==，∴S△BPQ=PQPB=；

如圖3，易證得：△BAP≌△PMQ，∴AB=PM=2，AP=MQ=3﹣2=1，∴P（2，2），Q（3，0），在Rt△QMP中，PM=2，QM=1，由勾股定理得：PQ=，∴S△BPQ=PQPB=；

②若∠BQP=90°，BQ=PQ，如圖4，易得：△BNQ≌△QMP，∴NQ=PM=3，NG=PM﹣AG=3﹣2=1，∴BN=MQ=4+1=5，∴P（2，﹣5），Q（﹣1，0），∴PQ==，∴S△BPQ=PQPB==17；

如圖5，易得△QNB≌△PMQ，∴NQ=PM=3，∴P（2，﹣1），Q（5，0），∴PQ=，∴S△BPQ=PQPB= =5；

③若∠PBQ=90°，BQ=BP，如圖6，過Q作QN⊥AB，交AB的延長線于N，易得：△PAB≌△BNQ，∵AB=2，NQ=3，AB≠NQ，∴此時不存在符合條件的P、Q．

綜上所述：P（2，﹣2），Q（﹣3，0），S△BPQ=或P（2，2），Q（3，0），S△BPQ=或P（2，﹣5），Q（﹣1，0），S△BPQ=17或P（2，﹣1），Q（5，0），S△BPQ=5．