Question

【題目】施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米，現在O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖所示）．

（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；
（2）求出這條拋物線的函數解析式；
（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A，D點在拋物線上，B，C點在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB，AD，DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．

Answer 1

【答案】
（1）解：M（12，0），P（6，6）
（2）解：∵頂點坐標（6，6）

∴設y=a（x﹣6）2+6（a≠0）

又∵圖象經過（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6

∴

∴這條拋物線的函數解析式為y=﹣ （x﹣6）2+6，即y=﹣ x2+2x

（3）解：設A（x，y）

∴A（x，﹣ （x﹣6）2+6）

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC=﹣ （x﹣6）2+6，

根據拋物線的軸對稱性，可得：OB=CM=x，

∴BC=12﹣2x，即AD=12﹣2x，

∴令L=AB+AD+DC=2[﹣ （x﹣6）2+6]+12﹣2x=﹣ x2+2x+12=﹣ （x﹣3）2+15．

∴當x=3，L最大值為15

∴AB、AD、DC的長度之和最大值為15米．

【解析】確定了拋物線的頂點式，可以設拋物線的頂點式，又過原點（0，0），就可以確定拋物線解析式；設OB=x，由對稱性得CM=x，這樣就可以用含x的式子表示AB、AD、CD了，為求三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值，提供依據．