Question

問題：在平面直角坐標系中，直線y=-

1

2

x+5交x軸于點A，交y軸于點B，交直線y=x-1于點C．過點A作y軸的平行線交直線y=x-1于點D．點E為線段AD上一點，且tan∠DCE=

1

2

．點P從原點O出發沿OA邊向點A勻速移動，同時，點Q從B點出發沿BO邊向原點O勻速移動，點P與點Q同時到達A點和O點，設BQ=m．
（1）求點E的坐標；
（2）在整個移動過程中，是否存在這樣的實數m，使得△PQD為直角三角形？若存在這樣的實數m，求m的值；若不存在，請說明理由；
（3）函數y=

k

x

經過點C，R為y=

k

x

上一點，在整個移動過程中，若以P、Q、E、R為頂點的四邊形是平行四邊形，求R點的坐標．
要求：①解答上面問題；
②根據你對上面問題的解答，任意選擇其中一問，說出你的主要解題思路．

Answer 1

分析：（1）設CE交AD于點E，作EF⊥OA于F．直線y=-

1

2

x+5中我們可以求出與x軸和y軸的交點坐標，從而求出OA、OB的長度，可以得到tan∠OAB=

1

2

可以求出直線y=x-1與坐標軸的交點，得到△ADG是個等腰直角三角形，利用三角形相似，求出DE的長，從而求出E點的坐標．
（2）當△PQD是直角三角形時，就有△OQP∽△APD，利用對應邊成比例可以求出m的值．
（3）因為PERQ是平行四邊形，∴就有對邊QR=PE，連接對角線就可以證明∠1=∠2，從而證明∠5=∠EPA，利用三角形全等求出線段的長度求出R的坐標．

解答：解：（1）作CF⊥OA于F
∵y=-

1

2

x+5交x軸于點A，交y軸于點B
∴當x=0時，y=5，即OB=5
當y=0時，x=10，即OA=10
∴tan∠OAB=

1

2

∵tan∠DCE=

1

2

∴∠OAB=∠DCE
設直線OD交坐標軸分別于點G、H，當x=0時，y=-1，即OH=1
當y=0時，x=1，即OG=1
∴OG=OH，
∴∠OGH=45°
∴∠GDA=∠GAD=45°，在y=x-1中，當x=10時，y=9
∴AD=9
∴GD=9

2

∵y=-

1

2

x+5與y=x-1相交于點C，求得C點坐標為：C（4，3）
∴CF=3，∴GC=3

2

，
∴CD=6

2

∵△GCA∽△DEC
∴

GC

DE

=

GA

DC

∴

3 2

DE

=

9

6 2

∴DE=4，∴AE=5
∵AD⊥x軸
∴E（10，5）；

（2）∵點P與點Q同時分別從B點和O點運動，同時到達A點和O點，且OA是OB的2倍
∴P點運動的速度是Q點的2倍
∵QB=m，
∴OP=2m
∴QO=5-m，PA=10-2m
∵△PQD為直角三角形
∴△QOP∽△PAD
∴

QO

PA

=

OP

AD

∴

5-m

10-2m

=

2m

9

解得：m₁=5，m₂=

9

4

；
當m=1時，∠DQP=90°．

（3）過點R作HR∥OA交OB于點H，連接PR
∴∠DRP=∠OAR，∠3=∠4
∵四邊形RQPE是平行四邊形，
∴∠3=∠4，∠QRE=∠QPE，QR=AE
∴∠2=∠1
∴∠5=∠EPA
∴△RHQ≌△PAE
∴RH=PA，QH=AE
∴RH=10-2m，HQ=5
∵函數y=

k

x

經過點C
∴k=12
y=

12

x

，設R坐標為（a，b）
∴HO=5+5-m=10-m，HR=10-2M
∴a=10-2m，b=10-m
∴（10-2m）（10-m）=12
∴m₁=11（不符合題意），m₂=4
∴a=2，b=6
∴R（2，6）．

點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了相似三角形的性質和判定，點的坐標的求法，平行四邊形的性質，全等三角形的性質的運用，直角三角形的性質．