Question

3．如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AC為直徑的⊙O分別交AB，BC于點D，E，點F在AB的延長線上，2∠BCF=∠BAC．
（1）求∠ADE的度數．
（2）求證：直線CF是⊙O的切線．

Answer 1

分析 （1）根據圓內接四邊形的對角互補可以求得∠ADE的度數．
（2）欲證明直線CF是⊙O的切線，只需推知∠ACF=90°．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ACE=60°，
∴∠ADE=180°-∠ACE=120°；

（2）∵⊙O的直徑是AC，
∴∠AEC=90°，即AE⊥BC．
又∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE．
∵2∠BCF=∠BAC，
∴∠BCF=∠CAE．
∵∠CAE+∠ECA=90°，
∴∠BCF+∠ECA=90°，即∠ACF=90°．
又AC是直徑，
∴直線CF是⊙O的切線．

點評 本題考查了切線的性質，圓周角定理，等邊三角形的性質．切線必須滿足兩個條件：a、經過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．