Question

【題目】如圖1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線，以O為圓心，OC為半徑作圓O

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）已知AO交圓O于點E，延長AO交圓O于點D，tan∠D=，求的值；

（3）如圖2，在（2）條件下，若AB與⊙O的切點為點F，連接CF交AD于點G，設⊙O的半徑為3，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由于題目沒有說明直線AB與⊙O有交點，所以過點O作OF⊥AB于點F，然后證明OC=OF即可；
（2）連接CE，先求證∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，則，而tan∠D＝，即可求解；
（3）連接CF交AD于點M，由（2）可知，AC2=AEAD，先求出AE，AC的長，則AO可求出，證△CMO∽△ACO，可得OC2=OMOA，求出OM，CM，則CF=2CM可求解．

（1）證明：如圖，過點O作OF⊥AB于點F

，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接CE，

∵ED是⊙O的直徑，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠OCD，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∵tan，

∴；

（3）由（2）可知：，

∴設AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合題意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

∴AO=AE+OE=2+3=5，

如圖，連接CF交AD于點M

，

∵AC，AF是⊙O的切線，

∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，

∴CF⊥AO，

∴∠ACO=∠CMO=90°，

∵∠COM=∠AOC，

∴△CMO∽△ACO，

∴，

∴OC2=OMOA，

∴OM=，

∴CM==，

∴．