Question

（1）如圖，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=2cm，在AB邊上取一點E，（點E與A，B不重合），連接CE、DE，分矩形ABCD所成的3個三角形都相似．我們把這樣的點E叫做矩形ABCD的AB邊上的全相似點，在圖的AB邊上畫出滿足要求的全相似點E，并求AE的長；（畫圖工具不限，可以簡單說明）
（2）對于任意一個矩形ABCD，AB邊上是否一定存在這樣的全相似點E？如果一定存在，請說明理由；如果不一定存在，請舉例說明；
（3）在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，當點E是四邊形ABCD的AB邊上的一個全相似點時．請探究：AE與BE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據相似三角形對應角相等可得∠A=∠B=∠CED，作以CD為直徑的圓，與AB的交點即為所求的點E，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AE的值；
（2）根據（1）的作法，若矩形的寬大于長的一半，則圓與另一邊沒有交點，也就不存在全相似點；
（3）根據全相似點的定義可得△ADE和△BEC相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解答：解：（1）如圖，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，
∵三個三角形都相似，
∴∠CED=90°，
以CD為直徑作⊙O，與AB相交，交點即為點E，
設AE=x，則BE=AB-AE=5-x，
∵△ADE∽△BEC，
∴

AE

BC

=

AD

BE

，
即

x

2

=

2

5-x

，
整理得，x₁=1，x₂=4，
所以，AE的長為1cm或4cm；

（2）由（1）可知，當矩形的長AB＜2AD時，圓與AB沒有交點，所以AB邊上不存在這樣的全相似點E；

（3）AE與BE的數量關系為：AE•BE=AD•BC．
理由如下：如圖，∵點E是四邊形ABCD的AB邊上的一個全相似點，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴AE•BE=AD•BC．

點評：本題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的對應邊成比例的性質，讀懂題目信息，理解全相似點的定義，判斷出∠CED=90°，從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關鍵．