Question

已知：如圖，⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，動點P在⊙O₂上，且在⊙₁外，直線PA、PB分別交⊙O₁于C、D，問：⊙O₁的弦CD的長是否隨點P的運動而發生變化？如果發生變化，請你確定CD最長和最短時P的位置，如果不發生變化，請你給出證明．

Answer 1

解：當點P運動時，CD的長保持不變，A、B是⊙O₁與⊙O₂的交點，弦AB與點P的位置關系無關，
證明：如圖，連接AD，
∵∠ADP在⊙O₁中所對的弦為AB，
∴∠ADP為定值，
∵∠P在⊙O₂中所對的弦為AB，
∴∠P為定值，
∵∠CAD=∠ADP+∠P，
∴∠CAD為定值，
∵在⊙O₁中∠CAD對弦CD，
∴CD的長與點P的位置無關．
分析：連接AD、AB，∠ADP在⊙O₁中所對的弦為AB，所以∠ADP為定值，∠P在⊙O₂中所對的弦為AB，所以∠P為定值．再利用三角形內角與外角的關系求出∠CAD為定值，則弦CD為定值，與P的位置無關．
點評：本題為動態性題目，解答此題的關鍵是熟知圓周角與弦的關系，即在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弦相等．